傅里叶级数 · 圆轨展开

核心观察

每个旋转的圆代表一个正弦项。第 $k$ 个圆的：

• 半径 = 那一项的振幅 $a_k$
• 角速度 = 基频的 $k$ 倍

所有圆首尾相连，笔尖就是所有项的和。把笔尖走过的轨迹横向铺开，就是合成出的周期波。

三种经典波形的公式

方波：

$$f(t) = \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sin\big((2k-1)t\big)}{2k-1}$$

锯齿波：

$$f(t) = \frac{2}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k} \sin(kt)$$

三角波：

$$f(t) = \frac{8}{\pi^2} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)^2} \sin\big((2k+1)t\big)$$

试着玩

• 项数 N = 1 时只剩基频，是个纯正弦波
• N 越大，叠加越逼近目标波形
• 方波在拐角处有著名的 Gibbs 现象（小尖刺无论项数多少都消不掉）—— 调到 N=40 看那个 9% 的尖刺
• 锯齿波只用奇偶交替符号就把陡降做出来了

为什么重要

这套展开是几乎所有信号处理、JPEG、MP3、5G 的数学基础。你眼前看到的”圆叠加”在频率域就是 FFT —— 现代电子文明跑在它上面。