抛体运动

无阻力情形

把发射角度记作 $\theta$，初速度 $v_0$：

• 水平方向：匀速 $v_x = v_0 \cos\theta$
• 竖直方向：初速度 $v_0 \sin\theta$，受重力 $-g$ 减速

轨迹是抛物线。射程：

$\sin(2\theta)$ 在 $\theta = 45°$ 时取最大值 1。所以无阻力时 45° 射程最远。

加上空气阻力

阻力大致正比于速度平方：$F_d = -k|v| \vec{v}$

这时事情变复杂：

• 轨迹不再对称，下落段更陡
• 最远射程的最佳角度小于 45°（典型 40° 左右）
• 重物（k 小）和轻物（k 大）的最优角差异很大

调大”空气阻力系数”看轨迹怎么”缩水”，再换不同角度找新最优。

历史小知识

伽利略最早证明（无阻力下）抛体轨迹是抛物线。在那之前亚里士多德的”两段论”（先直线上升再垂直下落）统治了 2000 年。

弹道学随后催生了一门数学：弹道表。第一台计算机 ENIAC（1945）就是为美国陆军算弹道表造的。