科普可视化

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• 数学

  不动点定理 · 一张照片盖在自己身上

  把一张照片的缩小副本任意旋转、平移后盖回原图，总有且只有一点恰好压在它在原图中对应的位置——这就是巴拿赫不动点定理的图形版。拖动副本，实时看那唯一的不动点在哪。

  初中高中

• 数学

  差倍问题可视化

  用条形图把"差"和"倍数"的关系画出来 —— 小学应用题的常见套路，看到形状就会算。

  小学

• 生物

  蛋白质折叠（简化）

  把氨基酸只分两类 —— 疏水的 H 喜欢凑一起，亲水的 P 暴露在外。这是 50 年蛋白质研究的入门玩具。

  高中

• 数学

  等腰直角 · 旋转构造勾股

  等腰直角三角形斜边上两点满足 ∠DCE = 45°，证明 DE² = AD² + BE²。关键一招：把 △ACD 绕直角顶点转 90°，把三条分散的线段装进一个直角三角形。

  初中高中

• 物理

  多普勒效应

  移动声源前方波被挤压，后方被拉伸 —— 救护车驶过为什么音调先高后低就是这个原理。

  高中初中

• 计算机

  二进制加法器

  计算机怎么算 1+1 ？XOR 和 AND 两种逻辑门，拼出半加器、全加器，串起来就是 CPU 加法的原型。

  初中高中

• 数学

  方程平衡器

  方程是一架天平 —— 两边做同样的事，平衡就不破。这是解一元一次方程的全部秘密。

  小学初中

• 数学

  傅里叶级数 · 圆轨展开

  任何周期波形都能拆成一组旋转圆的叠加 —— 数学之美的封面级演示。

  高中

• 物理

  高尔顿板

  几千颗小球随机落下，底部的堆积形状如何收敛到正态分布 —— 中心极限定理的直观演示。

  高中初中

• 数学

  勾股定理的拼图证明

  同一个大正方形装四个一样的直角三角形 —— 摆法不同，剩下的空白分别是 a²+b² 和 c²。

  小学初中

• 化学

  甲烷燃烧

  把化学方程式拆成"靠近 → 断键 → 重组 → 生成"四步可视化。追踪每个原子的化合价，验证氧化数守恒。

  高中

• 物理

  简谐振动 + 拍频

  两个正弦波叠加。频率接近时出现"拍"，相位相反时互相抵消 —— 波动力学的入门必修。

  高中初中

• 数学

  矩形辅助线 · 证明 CF = 2EB

  矩形中两个角度条件 → 拖出一条延长线，整个比例关系塌成一个简单等式。经典「目标倒推 + 翻折」辅助线的活教材。

  初中高中

• 物理

  卡门涡街 · 圆柱绕流与雷诺数

  用晶格玻尔兹曼模拟二维 Navier-Stokes，看圆柱后方的对称流场如何在 Re ≈ 40 处自发失稳，开始周期性脱涡。

  高中

• 数学

  科赫雪花 · 无限长的边界围出有限的面积

  每条线段三等分、中段换成凸角，重复下去就是科赫雪花。周长按 4/3 的倍数发散到无穷，面积却收敛到初始三角形的 8/5——一条无限长的曲线，圈住一块有限的地。

  初中高中

• 物理

  克拉尼板

  把声音变成可见图案。麦克风采集频率，粒子向板的波节线聚集，几何美感由声学本身决定。

  高中

• 化学

  勒夏特列原理

  实时模拟合成氨反应的浓度动态，体验温度、压强与加减物质如何引发平衡移动

  高中

• 数学

  离散不动点 · 缩小的网格盖回自己

  把 10×10 的字母-数字网格缩小一半盖回原网格，不转、不出界、格线对齐，总有一格在两张网格里读出的字母和数字完全相同。这是连续不动点定理的离散影子，证明只需一句话：整数从正变到负，必然经过零。

  初中高中

• 数学

  洛伦兹吸引子

  一个简单的三方程系统如何产生混沌——蝴蝶效应的数学本体。

  高中

• 数学

  曼德布罗特集

  可无限放大的分形 —— 一个简单的复迭代 z ← z² + c 长出无穷的几何结构。

  高中

• 生物

  酶动力学 · Michaelis-Menten

  拉一下 V_max、K_m 和抑制剂浓度 —— 看酶反应速率曲线怎么变形，理解为什么药物能"卡住"酶。

  高中

• 数学

  蒙特卡洛求 π

  用"随机撒点"估算 π —— 概率几何最干净的演示，点越多越准。

  初中高中

• 数学

  牛顿迭代法 · 切线找根与牛顿分形

  用切线代替曲线找方程的根。1D 看每步多漂亮地"二阶收敛"，2D 看分形如何从确定算法里冒出来。

  高中

• 数学

  欧拉公式 · 复数旋转

  e^(iθ) 沿单位圆走一圈 —— 当 θ = π，最美的等式 e^(iπ) + 1 = 0 浮出水面。

  高中

• 计算机

  排序算法竞速

  冒泡、插入、快排、归并 —— 同一组数据，不同算法的比较次数能差一两个数量级。

  初中高中

• 物理

  抛体运动

  调发射角度和初速度，看轨迹和落点。无阻力时 45° 射程最远 —— 但加上阻力呢？

  初中高中

• 数学

  奇偶数实验室

  用配对小球的方法直观理解奇偶性。再扩展到加法、乘法 —— 看运算如何继承奇偶。

  小学

• 物理

  球形容器中的理想气体

  让一群小球在球形容器里弹来弹去 —— PV=nRT 的微观本相。

  高中

• 数学

  三角形倍角 · AB = AC + CD 的角平分线秘密

  △ABC 中 ∠C = 2∠B，AD 平分 ∠A，D 在 BC 上。在 AB 上构造辅助点 E 使 AE = AC，经 SAS 全等与等腰三角形完成 AB = AC + CD 的证明。

  初中高中

• 数学

  三角形角度追踪 · AB = CD 的等腰秘密

  △ABC 中 D 在 BC 上，已知 AB=CD 和两角。关键：在 BC 上取辅助点 E 构造两个等腰三角形，再用 SAS 全等得出 ∠C = ∠B。

  初中高中

• 计算机

  神经网络分类器

  2D 点分两类 —— 切换数据形状，调整输入特征、隐藏层数、激活函数，亲眼看决策边界怎么从乱权重长出来。

  高中

• 物理

  双摆

  一个摆挂在另一个摆下面 —— 看似简单，运动却是经典的混沌系统。

  高中

• 物理

  双缝干涉 · 波还是粒子？

  两条狭缝把一束光变成两个波源 —— 它们叠加出明暗条纹。切到"单光子"模式：每个光子随机打屏，累积出来仍然是同一图样。

  高中

• 数学

  算术扑克

  用一组随机数字卡组合算式，凑出目标数。逼迫你把加减乘除括号像下棋一样思考。

  小学

• 计算机

  梯度下降 · 在 Himmelblau 地形里找谷底

  点画布选起点，对比 SGD / 动量 / Adam 三种优化器，看它们怎么从同一座小山滚到不同的洞底。

  高中

• 物理

  透镜成像

  凸透镜与凹透镜，三条特殊光线找像。物距改变时像的"性质"会跳跃变化。

  初中高中

• 物理

  下落的沙子

  元胞自动机的入门作。每个像素只遵循"下方空就掉、侧下空就滑"这三条规则，宏观上就是真实的沙堆。

  高中初中

• 数学

  线性变换 · 把矩阵变成动作

  拉 4 个数字 → 坐标网格弯曲、L 形物体变形。理解矩阵到底"在做什么"，比死记乘法规则强百倍。

  高中

• 数学

  谢尔宾斯基三角 · 三条不同的路，走到同一个图形

  递归挖洞、随机投点、杨辉三角涂奇数——三种毫不相干的做法，画出的是同一个图形。面积趋于 0，点却处处都在；维数 log3/log2 ≈ 1.585。

  初中高中

• 数学

  旋转位似 · 一个变换同时拧转与缩放

  旋转位似是「绕一点旋转 + 同心放缩」的复合变换。拖动 P 观察像 Q，理解为何 AQ∶AP 与 ∠PAQ 恒定——这一对不变量正是相似三角形等一大类几何模型的共同源头。

  初中高中

• 数学

  益智翻牌

  经典记忆翻牌游戏 + 算术配对模式。把 "12" 和 "3×4" 翻成一对，记忆与心算同步训练。

  小学

• 物理

  翼型与伯努利

  气流绕翼型 —— 上面流得快、下面流得慢，伯努利方程把"速度差"翻译成"压强差"，飞机就这样飞起来。

  高中

• 物理

  雨中要不要跑

  经典物理问题：雨中赶路，跑得越快淋得越少吗？实时模拟两种淋雨量的比例。

  高中初中

• 化学

  元素周期表

  一张表里藏着一切规律 —— 切换"分类/原子量/电负性/半径/电离能"，看周期性怎么浮现。

  初中高中

• 数学

  正方形半角模型 · 一题抵十题

  正方形中 ∠HBP = 45°（"半角"）经旋转全等、四点共圆与相似三角形的连锁推导，衍生出 HP = AH + PC、等腰直角 △BMH、△BNP 等八个精妙结论。

  初中高中

• 数学

  中心极限定理 · 为什么世界到处是钟形

  选一个奇怪的基底分布，每次从它抽 N 个数取平均 —— 看几千次的平均值，无论起点多怪，都收敛到一条钟形曲线。

  高中

• 数学

  Aizawa 吸引子

  比洛伦兹更复杂的混沌结构 —— 球状漩涡形态，三维相空间中的奇异吸引子。

  高中

• 计算机

  Conway 生命游戏

  4 条规则，万千形态。元胞自动机的祖师爷 —— 简单规则也能涌现出滑翔机、机枪、振荡器。

  初中高中

• 计算机

  Dijkstra 与 A* 寻路

  同样找最短路 —— Dijkstra 像水波等距扩散，A* 朝目标"瞄准"扩展。看访问格子数对比。

  初中高中

• 生物

  DNA 双螺旋

  沃森-克里克的 3D 模型。两条反向平行的骨架、A-T 与 G-C 互补、氢键数清晰可数。

  高中

• 计算机

  K-means 聚类 · 最简单的"自己分组"

  给一堆点和一个 k —— 算法反复"归到最近 / 自己挪到平均"，几步内就找到聚类中心。但对非凸簇就完全失败。

  高中

• 计算机

  LLM 分词演示

  大语言模型不读字符 —— 它读 token。同样一句话，英文短词最便宜，罕见词最贵，中文居中。

  初中高中

• 生物

  Lotka-Volterra 捕食者-猎物

  兔子和狼的"经典舞蹈" —— 两条曲线永远错开相位地振荡。生态学最优雅的方程。

  高中

• 物理

  N 体引力

  太阳系平稳的椭圆，三体系统的疯狂混沌 —— 同一套引力方程，两种命运。

  高中

• 数学

  Ox & Cow 推理猜数

  经典 Bulls & Cows 逻辑推理。四位不重复数字，靠 Ox（位置对）和 Cow（数字对）一步步逼近答案。

  小学初中

• 计算机

  RSA 公钥加密

  选两个素数相乘容易，分解很难 —— 这个不对称就是整个互联网安全的基础。用小数手算一遍。

  高中

• 生物

  SIR 流行病传播

  易感、感染、康复三条曲线 —— 调 β 和 γ，看疫情怎么爆发、怎么消退、R₀ 临界点在哪。

  高中

• 物理

  Stable Fluids · 实时烟雾仿真

  拖鼠标在 GPU 上跑 Navier-Stokes —— 烟雾被你的速度场卷起，演化出涡和湍流。看流体力学最劝退的方程"活"在屏幕上。

  高中

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